domingo, 21 de abril de 2013

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Dados dos conjuntos: X e Y, y un Grafo f, que determina alguna Relación binaria entre algún elemento de X con algún elemento de Y, diremos que ese grafo: f, define una correspondencia1 entre X e Y, que representaremos: Si tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, y diferenciamos por un lado los tubos y por otro los pinceles, y asociamos a cada tubo con el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relación color de la pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color. En este ejemplo, podemos definir un conjunto T de tubos de pintura y otro P de pinceles y asociar a cada tubo del conjunto T, el pincel del conjunto P que tenga su mismo color, esta asociación la representaremos con una flecha del tubo al pincel correspondiente. Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay ningún pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ninguna flecha. Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo color, así en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura verde. También puede ser que tengamos más de un tubo de un mismo color y un solo pincel con esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen las dos flechas hasta el único pincel con pintura azul, llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la figura. En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningún tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha. En resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto T de tubos de pintura, y otro conjunto P de pinceles, existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene el mismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relación tan sencilla o tan compleja como se quiera. En una correspondencia matemática los conjuntos no tienen que ser necesariamente numéricos, ni la relación entre sus elementos operaciones aritméticas, sin que por ello deje de ser matemática. [editar]Definiciones En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos: Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, es este caso X, lo representaremos: in(f), según el ejemplo: En el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C que hemos pintado con esos pinceles, la correspondencia asocia a cada pincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjunto inicial será: , , , Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este caso Y, lo representaremos como fin(f), según el ejemplo: En el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final está formado por: , , , Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del conjunto final, lo representaremos or(f), en el ejemplo será: Los pinceles de los que hay una cara pintada es el conjunto origen, de la correspondencia mismo color: , , Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que están relacionados los elementos del conjunto origen, lo representaremos Im(f), en el ejemplo: Las caras para las que hay un pincel de su color es el conjunto imagen: , , Elementos homólogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están relacionados según la correspondencia f, en el ejemplo los siguientes pares ordenadas son homólogos: Los pares ordenados formados por un pincel y una cara del mismo color son: , , , Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto origen, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x y se representa: si el elemento x está relacionado con el elemento y según la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que: La correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del mismo color es: [editar]Correspondencia definida a partir del producto cartesiano Dados los conjuntos X (Conjunto inicial) e Y (Conjunto final) y definido el producto cartesiano , de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados (x, y), donde e , dado el conjunto F que contiene a los pares homónimos de la correspondencia f, y define esa correspondencia en su totalidad. Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es un subconjunto F del producto cartesiano , que recoge los pares ordenados (x, y), que forman la correspondencia. [editar]ejemplo 1 d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) X×Y 1 2 3 4 en la diagrama anterior, tenemos los conjuntos: el producto es: el conjunto F es el siguiente: se puede apreciar que y que F define la correspondencia en su totalidad. [editar]ejemplo 2 Partiendo de la correspondencia entre los tubos de pintura T, y los pinceles P, asociando a cada tubo el pincel que tiene pintura del mismo color. La correspondencia vendrá definida por los pares ordenados: , , , Vemos que el conjunto inicial es: , , , y el conjunto final: , , , el producto cartesiano de T por P es el conjunto de pares ordenados de cada uno de los tubos de T con cada uno de los pinceles de P, en la cuadrícula podemos ver en la fila inferior cada uno de los tubos del conjunto T, y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del conjunto P, donde se cortan una fila y una columna están el tubo y el pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman parte de la correspondencia. [editar]Correspondencia inversa Dada una correspondencia entre los conjuntos A y B, representada: se define como correspondencia inversa de f, que llamaremos : a la que asocia la imagen de la función f con su origen. Definida una correspondencia F, como un subconjunto del producto cartesiano de , donde los pares ordenados (a, b) son los asociados por la correspondencia, la correspondencia inversa , es el subconjunto del producto cartesiano , formado por los pares ordenados (b, a) obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia F. Así si tenemos un conjunto T de tubos de pintura y otro conjunto P de pinceles y asociamos por una relación f a cada tubo de T el pincel con pintura del mismo color: y esta función está definida por los pares ordenados: , , , La correspondencia inversa será la que partiendo del conjunto de pinceles P asocia a cada pincel el tubo del conjunto T de pintura del mismo color: que estará definida por los pares ordenados: , , , [editar]Tipos de correspondencias [editar]Clasificación según la unicidad Partiendo de dos conjuntos, uno inicial X, y otro final Y, y todas las posibles correspondencias que se pueden hacer entre estos dos conjuntos, por su interés podemos diferenciar las correspondencias unívocas y biunívocas. Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen. Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen" Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen. Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen y a cada elemento del conjunto final con origen sólo le llegue una flecha" No es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de X tengan una imagen, ni que todos los elementos de Y tengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser biunívoca. Si representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos X e Y, si el conjunto B es el de las correspondencias unívocas, y al A el de las biunívocas, en un Diagrama de Venn, se ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias unívocas. [editar]Correspondencia no unívoca Es la correspondencia en la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o más imágenes. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a B: B’ Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en ese centro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no será unívoca cuando al menos un alumno estudia dos o más asignaturas. En el diagrama de la figura el elemento 3 tiene dos imágenes b y c, esto hace que la correspondencia no sea unívoca, independientemente de la relación que tengan el resto de los elementos. Esta doble imagen para un único origen da lugar a que podamos decir: Siendo las dos expresiones ciertas. [editar]Correspondencia unívoca Es una correspondencia donde cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a B. [editar]Correspondencia unívoca, no biunívoca Es la que a cada origen le corresponde una única imagen, pero no todas las imágenes tienen un único origen. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que pertenecen a B pero no a A: B-A. Si el conjunto inicial es el de las personas de una población, y el conjunto final el de los domicilios de esa población, la correspondencia de personas con domicilios, será unívoca pero no biunívoca cuando, cada persona viva en un único domicilio y en algún domicilio vivan varias personas. La correspondencia representada en este diagrama es unívoca, pero no es biunívoca porque el elemento d, tiene dos orígenes: 1 y 2. Así tenemos que: esto hace que no sea una correspondencia biunívoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo. [editar]Correspondencia biunívoca Artículo principal: Correspondencia biunívoca. Es una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con solo un elemento del conjunto origen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a A. Ejemplos En el diagrama de la figura se ve que: siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen, puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la definición de biunicidad. Si consideramos como conjunto origen el de personas, y por conjunto imagen el de automóviles, esta correspondencia será biunívoca cuando las personas que tienen automóvil tienen un solo automóvil, y cada automóvil tenga un solo propietario. Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cada número natural con su cuadrado. Otro ejemplo podría ser una correspondencia biunívoca entre cada estudiante con su número de legajo. Una relación biunívoca muy utilizada e independiente de otros valores es la existente entre el valor de la propiedad termométrica utilizada y el valor numérico de la temperatura asignada. Esto es que cada valor de temperatura se corresponde únicamente con un valor de la escala del termometro y cada valor de la escala del termometro se corresponde únicamente con un valor de temperatura. cuando al menos un elemento de X está relacionado con al menos un elemento de Y.

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