CEROS Y RAÍCES DE LA FUNCIÓN

Los puntos en los que una función polinomial se intersecta con el eje de las xs representa los denominados ceros de la función f(x) = 0 y que tales ceros representan las raíces de la ecuación polinomial que se obtiene al hacer f(x) = 0. Con el presente material podrás comprender las relaciones entre la expresión algebraica de una función polinomial, su comportamiento, aspecto y características principales de su gráfica. Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función. El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas. Una función trascendente como por ejemplo posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier es raíz de esa función. En cambio la función no se anula nunca sobre los números complejos. El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación. Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

PROPIEDADES GEOMÈTRICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO

La función polinomial de tercer grado más sencilla es: y= x3 mpezamos calculando sus raíces. Para quey= 0 se requiere que x3=0. En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero. El único número que satisface la condición anterior es x=0. Esta es la única raíz de la función. Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. El contradominio se calcula de la sigiuente manera: Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también. Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo. Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos Definición División sintética La división sintética entre dos polinomios se realiza utilizando solamente los coeficientes.

MODELO MATEMATICO DE LAS FUNCIONES POLINOMINALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO

Características de una función polinomial de grado 3 y 4 Al igual que las funciones polinomiales de grado 0, 1 y 2, esta clase de funciones posee también su grado, coeficiente principal, término independiente,su dominio y rango, la siguiente tabla muestra un ejemplo de una función de grado 3 y una de grado 4 con sus respectivos parámetros, una vez que hayas advertido su particularidad, completa el cuadro para la segunda función adjunta. Funciones de grado 4 Para advertirla influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones polinomiales de grado cuatro, es necesario, al igual como lo hiciste con las funciones polinomiales de grado 3, hacer pruebas modificando los parámetros de algunas funciones. La gráfica de las funciones de grado cuatro se eleva sobre la izquierda y la derecha, es decir, crecen en ambos lados, a excepción de aquella cuyo coeficiente principal es negativo, decrece en ambos lados. Raíces(ceros)reales de funciones polinomiales de grado 3 y 4 Las raíces reales de una función se obtienen cuando la función se hace 0, es decir f(x) = 0, en algunos casos son fáciles de apreciar en el plano cartesiano. Las raíces se logran apreciar en cada cruce que tiene la gráfica con el eje de las “x”, y como has notado, el número de raíces de cada función corresponde al grado de la misma. Características de la raíz de una función: Considera a la constante “a” como el cero o raíz de una función,siendo a > 0 y elemento del conjunto de los números reales. Según las propiedades de la raíz se cumple lo siguiente: 1) x = a es un cero o raíz de la función f(x) 2) x = a es una solución de la ecuación polinomial f(x) = 0 3) (x – a) es un factor de la función polinomialf(x) 4) (a, 0) es una intersección en el eje de las “x” de la gráfica de f(x) La obtención de dichas raíces te ayuda a identificarla con facilidad y además, a trazar un bosquejo de la gráfica de la función polinomial demaneramás práctica y rápida. Las ecuaciones que no pueden ser factorizables indican que no todas las funciones polinomiales tienen raíces reales, existen varios métodos que pueden mostrarte el tipo de raíces que posee tu función polinomial. Uno de ellos es la llamada prueba del cero racional, la cual relaciona todas las raíces racionales posibles de un polinomio involucrando el coeficiente principal y el término independiente.

PARAMETROS DE LAS FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es: � � = �, donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo 1 Graficar la función � � = 5, determinar su dominio y rango. La función también se puede expresar como � = 5, por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra en la siguiente figura.Dominio (−∞, ∞), se debe recordar que el dominio de un polinomio siempre será 𝑅 = (−∞, ∞) Rango {5} Ejemplo 2. Graficar la función � � = − 7 2 , determinar su domino y rango La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale � = −3.5, en la figura siguiente se muestra el resultado de la función.Dominio (−∞, ∞) Rango {7 2 } Funciones polinomiales de grado uno y las particularidades de los modelos lineales y cuadráticos La función lineal. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es: � = �� + � Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera: �(�) = �� + � Dónde: �. Es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje y, además se le denomina término independiente. �. Es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, es el coeficiente de la variable. �. Es la variable independiente. En la siguiente figura se muestra la función de los parámetros antes mencionados. Ejemplo: � � = 2� + 3Dónde: � = 2 � = 3 Existen métodos para graficar funciones lineales: 6. Sustitución de valores. 7. Intersección con los ejes coordenados. 8. Parámetros (� y �). Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto.

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones: 1. � � = 7. Es de grado cero, se le conoce como función constante. 2. � � = 4� − 1. Es de grado uno, también conocida como función lineal. 3. � � = � 2 + 5� + 6. Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. 4. � � = 4� 2 + 5� 3 + 1. Es de grado tres y se le conoce como función cúbica. 5. � � = 4� 4 + 3� 3 + 2� 2 + 1. Es de grado cuatro y se le conoce como función cuartica.El dominio de una función Polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuartica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. Si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales.

FORMA POLINOMIAL Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

¿Qué es una función polinomial? Esto depende de los grados de la función. La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma: P(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…. + a0x0 Con la nota específica de que N es un nuero real y el coeficiente A no debe ser cero. La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno. La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece de forma oblicua. y = m x + b La función cuadrática: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2 Se denomina función cuadrática a toda función de la forma: Y = ax2+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales. Su gráfica es una parábola. La función cúbica: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3 Se denomina función cúbica a toda función de la forma: y= ax3 + bx2 + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4 Es la función de fórmula: y = ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES

Características Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo: f(x)=3x4 -5x+6 Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales. En la figura se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3, que son las que se estudiarán en esta quincena. Observa la forma según su grado: 9 las de grado cero como f(x)=2, son rectas horizontales; 9 las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas oblicuas; 9 las de grado dos, como f(x)=2x2 +4x+3, son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas. Término independiente En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje OY o eje de ordenadas, es el punto (0, f(0)), por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas. En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas Pendiente Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y ésta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta. Observa que cuando a es positiva la función es creciente, y cuando es negativa, decreciente. Así, viendo los coeficientes, sabemos cómo es la gráfica de la función sin necesidad de realizar ningún cálculo. Recta que pasa por dos puntos Para trazar una recta basta con dar dos puntos, por tanto para representar una función polinómica de primer grado dando valores, bastará con dar dos valores. Si dos puntos P(3, 3) y Q(-2, -1) definen una recta, determinarán también su ecuación que podemos hallar resolviendo un sistema: Ecuación de la recta y=ax+b Pasa por P: Pasa por Q: Sean P(x0,y0), Q(x1,y1) dos puntos, la pendiente de la recta que pasa por ambos es 1 0 1 0 x x y y x y − − = Δ

FUNCION CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:1 F (X)= C donde c es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y = F (X) TENEMOS: Y = C donde c tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: Como la variable dependiente y no depende de x tenemos q la variación de y respecto a x es cero La integral de la función constante: Y = C ES:

FUNCION IDENTIDAD

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. La función identidad puede describirse de la forma siguiente: o tambien: La función identidad es trivialmente idempotente, es decir: La función de F (X)= X DE R DE R tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha. La función identidad en R2P (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación : una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj. La función identidad en es la doble negación, expresada por .(0,1)

FUNCION VALOR ABSOLUTO

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia. La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x). 2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. Veamos un ejemplo: Otro ejemplo:

FUNCION ESCALONADA

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c1 < c2 < ... < cn, y en cada intervalo ]ck, ck+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos ck. [editar]Características Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así: En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio: Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura. La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x). Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades. [editar]Véase también

FUNCION INVERSA

Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a otra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que: No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio . Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x Para calcular la función inversa: http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/eXe_LaTeX_math_8.3.gif a) Se cambian los nombres de e . b) Se despeja la . Ejemplo Calcula la inversa de la función . Primero intercambiamos la y la : y después despejamos la : Luego la función inversa de es . Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa: http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/eXe_LaTeX_math_19.gif Ejercicios 1. Comprueba que las funciones y son inversas. 2. Calcula la inversa de: a) b)

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Dados dos conjuntos: X e Y, y un Grafo f, que determina alguna Relación binaria entre algún elemento de X con algún elemento de Y, diremos que ese grafo: f, define una correspondencia1 entre X e Y, que representaremos: Si tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, y diferenciamos por un lado los tubos y por otro los pinceles, y asociamos a cada tubo con el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relación color de la pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color. En este ejemplo, podemos definir un conjunto T de tubos de pintura y otro P de pinceles y asociar a cada tubo del conjunto T, el pincel del conjunto P que tenga su mismo color, esta asociación la representaremos con una flecha del tubo al pincel correspondiente. Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay ningún pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ninguna flecha. Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo color, así en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura verde. También puede ser que tengamos más de un tubo de un mismo color y un solo pincel con esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen las dos flechas hasta el único pincel con pintura azul, llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la figura. En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningún tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha. En resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto T de tubos de pintura, y otro conjunto P de pinceles, existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene el mismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relación tan sencilla o tan compleja como se quiera. En una correspondencia matemática los conjuntos no tienen que ser necesariamente numéricos, ni la relación entre sus elementos operaciones aritméticas, sin que por ello deje de ser matemática. [editar]Definiciones En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos: Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, es este caso X, lo representaremos: in(f), según el ejemplo: En el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C que hemos pintado con esos pinceles, la correspondencia asocia a cada pincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjunto inicial será: , , , Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este caso Y, lo representaremos como fin(f), según el ejemplo: En el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final está formado por: , , , Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del conjunto final, lo representaremos or(f), en el ejemplo será: Los pinceles de los que hay una cara pintada es el conjunto origen, de la correspondencia mismo color: , , Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que están relacionados los elementos del conjunto origen, lo representaremos Im(f), en el ejemplo: Las caras para las que hay un pincel de su color es el conjunto imagen: , , Elementos homólogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están relacionados según la correspondencia f, en el ejemplo los siguientes pares ordenadas son homólogos: Los pares ordenados formados por un pincel y una cara del mismo color son: , , , Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto origen, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x y se representa: si el elemento x está relacionado con el elemento y según la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que: La correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del mismo color es: [editar]Correspondencia definida a partir del producto cartesiano Dados los conjuntos X (Conjunto inicial) e Y (Conjunto final) y definido el producto cartesiano , de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados (x, y), donde e , dado el conjunto F que contiene a los pares homónimos de la correspondencia f, y define esa correspondencia en su totalidad. Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es un subconjunto F del producto cartesiano , que recoge los pares ordenados (x, y), que forman la correspondencia. [editar]ejemplo 1 d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) X×Y 1 2 3 4 en la diagrama anterior, tenemos los conjuntos: el producto es: el conjunto F es el siguiente: se puede apreciar que y que F define la correspondencia en su totalidad. [editar]ejemplo 2 Partiendo de la correspondencia entre los tubos de pintura T, y los pinceles P, asociando a cada tubo el pincel que tiene pintura del mismo color. La correspondencia vendrá definida por los pares ordenados: , , , Vemos que el conjunto inicial es: , , , y el conjunto final: , , , el producto cartesiano de T por P es el conjunto de pares ordenados de cada uno de los tubos de T con cada uno de los pinceles de P, en la cuadrícula podemos ver en la fila inferior cada uno de los tubos del conjunto T, y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del conjunto P, donde se cortan una fila y una columna están el tubo y el pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman parte de la correspondencia. [editar]Correspondencia inversa Dada una correspondencia entre los conjuntos A y B, representada: se define como correspondencia inversa de f, que llamaremos : a la que asocia la imagen de la función f con su origen. Definida una correspondencia F, como un subconjunto del producto cartesiano de , donde los pares ordenados (a, b) son los asociados por la correspondencia, la correspondencia inversa , es el subconjunto del producto cartesiano , formado por los pares ordenados (b, a) obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia F. Así si tenemos un conjunto T de tubos de pintura y otro conjunto P de pinceles y asociamos por una relación f a cada tubo de T el pincel con pintura del mismo color: y esta función está definida por los pares ordenados: , , , La correspondencia inversa será la que partiendo del conjunto de pinceles P asocia a cada pincel el tubo del conjunto T de pintura del mismo color: que estará definida por los pares ordenados: , , , [editar]Tipos de correspondencias [editar]Clasificación según la unicidad Partiendo de dos conjuntos, uno inicial X, y otro final Y, y todas las posibles correspondencias que se pueden hacer entre estos dos conjuntos, por su interés podemos diferenciar las correspondencias unívocas y biunívocas. Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen. Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen" Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen. Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen y a cada elemento del conjunto final con origen sólo le llegue una flecha" No es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de X tengan una imagen, ni que todos los elementos de Y tengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser biunívoca. Si representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos X e Y, si el conjunto B es el de las correspondencias unívocas, y al A el de las biunívocas, en un Diagrama de Venn, se ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias unívocas. [editar]Correspondencia no unívoca Es la correspondencia en la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o más imágenes. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a B: B’ Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en ese centro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no será unívoca cuando al menos un alumno estudia dos o más asignaturas. En el diagrama de la figura el elemento 3 tiene dos imágenes b y c, esto hace que la correspondencia no sea unívoca, independientemente de la relación que tengan el resto de los elementos. Esta doble imagen para un único origen da lugar a que podamos decir: Siendo las dos expresiones ciertas. [editar]Correspondencia unívoca Es una correspondencia donde cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a B. [editar]Correspondencia unívoca, no biunívoca Es la que a cada origen le corresponde una única imagen, pero no todas las imágenes tienen un único origen. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que pertenecen a B pero no a A: B-A. Si el conjunto inicial es el de las personas de una población, y el conjunto final el de los domicilios de esa población, la correspondencia de personas con domicilios, será unívoca pero no biunívoca cuando, cada persona viva en un único domicilio y en algún domicilio vivan varias personas. La correspondencia representada en este diagrama es unívoca, pero no es biunívoca porque el elemento d, tiene dos orígenes: 1 y 2. Así tenemos que: esto hace que no sea una correspondencia biunívoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo. [editar]Correspondencia biunívoca Artículo principal: Correspondencia biunívoca. Es una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con solo un elemento del conjunto origen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a A. Ejemplos En el diagrama de la figura se ve que: siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen, puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la definición de biunicidad. Si consideramos como conjunto origen el de personas, y por conjunto imagen el de automóviles, esta correspondencia será biunívoca cuando las personas que tienen automóvil tienen un solo automóvil, y cada automóvil tenga un solo propietario. Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cada número natural con su cuadrado. Otro ejemplo podría ser una correspondencia biunívoca entre cada estudiante con su número de legajo. Una relación biunívoca muy utilizada e independiente de otros valores es la existente entre el valor de la propiedad termométrica utilizada y el valor numérico de la temperatura asignada. Esto es que cada valor de temperatura se corresponde únicamente con un valor de la escala del termometro y cada valor de la escala del termometro se corresponde únicamente con un valor de temperatura. cuando al menos un elemento de X está relacionado con al menos un elemento de Y.

IMAGEN

En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si es una función, entonces la imagen del elemento es el elemento . [editar]Diferencia con el contradominio El conjunto imagen siempre es un subconjunto del contradominio. Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen. Si es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función se conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma. Por ejemplo, la función tiene por contradominio el conjunto de todos los números reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos. En general, el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos coinciden, se dice que la función es suprayectiva.

CONTRADOMINIO

En matemáticas, el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota o o . Sea la imagen de una función , entonces . [editar]Ejemplo Para una función definida para , o el equivalente , el codominio de es , pero siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo [0,∞).

DOMINIO

Dominio Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función: Lo que puede entrar en una función se llama el dominio Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango. Parte de la función Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio. De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente. Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...} Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...} Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes. También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4) Así que el dominio es una parte muy importante de la función. Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio? Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone: Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que funcione". O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros. etc. ¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado! Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)

Relaciones

Una relación entre conjunto A y B, es cualquier conjunto de parejas ordenadas A x B. Se llama dominio de la relación al conjunto de las primeras componentes de las parejas, y rango, o imagen de la relación al conjunto de las segundas componentes. Notación descriptiva. No siempre es posible enumerar elementos de una relación. Por ejemplo; el conjunto de parejas ordenadas de R x R {( )......} en tales casos lo que se hace es describir la relación enunciada, una condición que han de satisfacer sus elementos. Por ejemplo, podemos describir la relación “ser menor que” ante los números R de la forma siguiente. M {(x, y) | x " R, y " R, x < y} Ejemplo: Sea A {1, 2, 3} El producto A x A con la regla “ser igual” Gráfica de una relación. La gráfica de una relación entre números reales consiste de todos los puntos del plano cuyas coordenadas están en la relación. Si la relación está definida por una ecuación, la gráfica de la ecuación (lugar geométrico) es lo mismo que la gráfica de la relación y consiste de los puntos cuyas coordenadas son el conjunto solución de la educación.

Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Función Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el con junto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio. Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra,digamos o o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X Conjunto Y Desarrollo − 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 − 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.