CRITERIOS DE EXISTENCIAS DE LAS ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

ASINTOTA VERTICALES

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca. No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal. Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones: 1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar. 2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito. NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

ASINTOTAS HORIZONTALES

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito). Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales. Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical. La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito. Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales: 1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador. 2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas. La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0. Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos. Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal. En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba. En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo. OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de aba La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos. Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba. Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo. Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

DOMINIO DE DEFINICION DE UNA FUNCION RACIONAL

Para el cálculo del dominio de las funciones con la x en el denominador o racionales, hay que tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser nulo. Luego los valores de x que hagan cero el denominador de la función no pueden pertenecer al dominio de la misma.

FUNCION RACIONAL

GRAFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES

TEOREMA DE FACTORIZACION LINEAL

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero. Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra. Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado (con coeficientes reales) puede tener soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado tiene soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2): Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a: con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que: El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

DIVISION SINTETICA

La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a. Dividamos entre Podemos apreciar que el cociente es un polinomio en x de un grado menor que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5. Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica: 1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo. 2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo. 3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo. 4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo. Ejemplo: Dividamos entre Solución: Dividendo Divisor 1 -2 -3 +5 Resultado residuo: 5 Ejemplo: Efectuar por división sintética Solución: Dividendo Divisor Resultado residuo: 68 Ejemplo: Efectuar por división sintética Solución: Dividendo Divisor Resultado residuo: 25 Ejemplo: Efectuar por división sintética entre Solución: Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos y , al escribir los coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos términos. Dividendo Divisor Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es y el residuo es -727

TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESIDUO

Teoremas del residuo y del factor. Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que: . Al polinomio se le denomina cociente, en el divisor y R es el resi Teorema del residuo. Si es el residuo de dividir el polinomio entre , entonces . Demostración. Como por el algoritmo de la división, se tiene que si , . O sea, . Ejemplo 7. Hállese el residuo de dividir el polinomio entre . Solución. se puede escribir como , por tanto . . . O sea que el residuo es 2. Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de . Demostración. Si es un cero de , . Pero por el algoritmo de la división . Como , . Por tanto, y . Ejemplo 8. Use el teorema del factor para probar que es un factor de . Solución. , así . . Luego –1 es un cero de . Así es un factor de . Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales. Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos. Ejemplo 9. Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase como un producto de factores lineales. Solución. Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que, . . . . Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de que son , . Así, escrito como el producto de factores lineales es, . Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados. Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real. Ejemplo 10. Si es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa: a. tiene al menos un cero real. b. tiene tres ceros. c. puede tener dos ceros reales y uno complejo. Solución. La afirmación c. es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si tienen dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real. Regla de los signos de descartes. Dado un polinomio con coeficientes reales, entonces: El número de ceros reales positivos de nunca esa mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par . El número de ceros reales negativos de nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par. Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tiene signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran. Ejemplo 11. En , hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas. . . En hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.

CEROS Y RAÍCES DE LA FUNCIÓN

Los puntos en los que una función polinomial se intersecta con el eje de las xs representa los denominados ceros de la función f(x) = 0 y que tales ceros representan las raíces de la ecuación polinomial que se obtiene al hacer f(x) = 0. Con el presente material podrás comprender las relaciones entre la expresión algebraica de una función polinomial, su comportamiento, aspecto y características principales de su gráfica. Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función. El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas. Una función trascendente como por ejemplo posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier es raíz de esa función. En cambio la función no se anula nunca sobre los números complejos. El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación. Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

PROPIEDADES GEOMÈTRICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO

La función polinomial de tercer grado más sencilla es: y= x3 mpezamos calculando sus raíces. Para quey= 0 se requiere que x3=0. En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero. El único número que satisface la condición anterior es x=0. Esta es la única raíz de la función. Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. El contradominio se calcula de la sigiuente manera: Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también. Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo. Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos Definición División sintética La división sintética entre dos polinomios se realiza utilizando solamente los coeficientes.

MODELO MATEMATICO DE LAS FUNCIONES POLINOMINALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO

Características de una función polinomial de grado 3 y 4 Al igual que las funciones polinomiales de grado 0, 1 y 2, esta clase de funciones posee también su grado, coeficiente principal, término independiente,su dominio y rango, la siguiente tabla muestra un ejemplo de una función de grado 3 y una de grado 4 con sus respectivos parámetros, una vez que hayas advertido su particularidad, completa el cuadro para la segunda función adjunta. Funciones de grado 4 Para advertirla influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones polinomiales de grado cuatro, es necesario, al igual como lo hiciste con las funciones polinomiales de grado 3, hacer pruebas modificando los parámetros de algunas funciones. La gráfica de las funciones de grado cuatro se eleva sobre la izquierda y la derecha, es decir, crecen en ambos lados, a excepción de aquella cuyo coeficiente principal es negativo, decrece en ambos lados. Raíces(ceros)reales de funciones polinomiales de grado 3 y 4 Las raíces reales de una función se obtienen cuando la función se hace 0, es decir f(x) = 0, en algunos casos son fáciles de apreciar en el plano cartesiano. Las raíces se logran apreciar en cada cruce que tiene la gráfica con el eje de las “x”, y como has notado, el número de raíces de cada función corresponde al grado de la misma. Características de la raíz de una función: Considera a la constante “a” como el cero o raíz de una función,siendo a > 0 y elemento del conjunto de los números reales. Según las propiedades de la raíz se cumple lo siguiente: 1) x = a es un cero o raíz de la función f(x) 2) x = a es una solución de la ecuación polinomial f(x) = 0 3) (x – a) es un factor de la función polinomialf(x) 4) (a, 0) es una intersección en el eje de las “x” de la gráfica de f(x) La obtención de dichas raíces te ayuda a identificarla con facilidad y además, a trazar un bosquejo de la gráfica de la función polinomial demaneramás práctica y rápida. Las ecuaciones que no pueden ser factorizables indican que no todas las funciones polinomiales tienen raíces reales, existen varios métodos que pueden mostrarte el tipo de raíces que posee tu función polinomial. Uno de ellos es la llamada prueba del cero racional, la cual relaciona todas las raíces racionales posibles de un polinomio involucrando el coeficiente principal y el término independiente.

PARAMETROS DE LAS FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es: � � = �, donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo 1 Graficar la función � � = 5, determinar su dominio y rango. La función también se puede expresar como � = 5, por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra en la siguiente figura.Dominio (−∞, ∞), se debe recordar que el dominio de un polinomio siempre será 𝑅 = (−∞, ∞) Rango {5} Ejemplo 2. Graficar la función � � = − 7 2 , determinar su domino y rango La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale � = −3.5, en la figura siguiente se muestra el resultado de la función.Dominio (−∞, ∞) Rango {7 2 } Funciones polinomiales de grado uno y las particularidades de los modelos lineales y cuadráticos La función lineal. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es: � = �� + � Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera: �(�) = �� + � Dónde: �. Es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje y, además se le denomina término independiente. �. Es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, es el coeficiente de la variable. �. Es la variable independiente. En la siguiente figura se muestra la función de los parámetros antes mencionados. Ejemplo: � � = 2� + 3Dónde: � = 2 � = 3 Existen métodos para graficar funciones lineales: 6. Sustitución de valores. 7. Intersección con los ejes coordenados. 8. Parámetros (� y �). Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto.

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones: 1. � � = 7. Es de grado cero, se le conoce como función constante. 2. � � = 4� − 1. Es de grado uno, también conocida como función lineal. 3. � � = � 2 + 5� + 6. Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. 4. � � = 4� 2 + 5� 3 + 1. Es de grado tres y se le conoce como función cúbica. 5. � � = 4� 4 + 3� 3 + 2� 2 + 1. Es de grado cuatro y se le conoce como función cuartica.El dominio de una función Polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuartica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. Si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales.

FORMA POLINOMIAL Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

¿Qué es una función polinomial? Esto depende de los grados de la función. La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma: P(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…. + a0x0 Con la nota específica de que N es un nuero real y el coeficiente A no debe ser cero. La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno. La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece de forma oblicua. y = m x + b La función cuadrática: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2 Se denomina función cuadrática a toda función de la forma: Y = ax2+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales. Su gráfica es una parábola. La función cúbica: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3 Se denomina función cúbica a toda función de la forma: y= ax3 + bx2 + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4 Es la función de fórmula: y = ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES

Características Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo: f(x)=3x4 -5x+6 Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales. En la figura se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3, que son las que se estudiarán en esta quincena. Observa la forma según su grado: 9 las de grado cero como f(x)=2, son rectas horizontales; 9 las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas oblicuas; 9 las de grado dos, como f(x)=2x2 +4x+3, son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas. Término independiente En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje OY o eje de ordenadas, es el punto (0, f(0)), por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas. En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas Pendiente Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y ésta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta. Observa que cuando a es positiva la función es creciente, y cuando es negativa, decreciente. Así, viendo los coeficientes, sabemos cómo es la gráfica de la función sin necesidad de realizar ningún cálculo. Recta que pasa por dos puntos Para trazar una recta basta con dar dos puntos, por tanto para representar una función polinómica de primer grado dando valores, bastará con dar dos valores. Si dos puntos P(3, 3) y Q(-2, -1) definen una recta, determinarán también su ecuación que podemos hallar resolviendo un sistema: Ecuación de la recta y=ax+b Pasa por P: Pasa por Q: Sean P(x0,y0), Q(x1,y1) dos puntos, la pendiente de la recta que pasa por ambos es 1 0 1 0 x x y y x y − − = Δ

FUNCION CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:1 F (X)= C donde c es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y = F (X) TENEMOS: Y = C donde c tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: Como la variable dependiente y no depende de x tenemos q la variación de y respecto a x es cero La integral de la función constante: Y = C ES:

FUNCION IDENTIDAD

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. La función identidad puede describirse de la forma siguiente: o tambien: La función identidad es trivialmente idempotente, es decir: La función de F (X)= X DE R DE R tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha. La función identidad en R2P (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación : una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj. La función identidad en es la doble negación, expresada por .(0,1)

FUNCION VALOR ABSOLUTO

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia. La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x). 2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. Veamos un ejemplo: Otro ejemplo:

FUNCION ESCALONADA

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c1 < c2 < ... < cn, y en cada intervalo ]ck, ck+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos ck. [editar]Características Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así: En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio: Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura. La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x). Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades. [editar]Véase también

FUNCION INVERSA

Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a otra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que: No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio . Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x Para calcular la función inversa: http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/eXe_LaTeX_math_8.3.gif a) Se cambian los nombres de e . b) Se despeja la . Ejemplo Calcula la inversa de la función . Primero intercambiamos la y la : y después despejamos la : Luego la función inversa de es . Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa: http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/eXe_LaTeX_math_19.gif Ejercicios 1. Comprueba que las funciones y son inversas. 2. Calcula la inversa de: a) b)

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Dados dos conjuntos: X e Y, y un Grafo f, que determina alguna Relación binaria entre algún elemento de X con algún elemento de Y, diremos que ese grafo: f, define una correspondencia1 entre X e Y, que representaremos: Si tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, y diferenciamos por un lado los tubos y por otro los pinceles, y asociamos a cada tubo con el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relación color de la pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color. En este ejemplo, podemos definir un conjunto T de tubos de pintura y otro P de pinceles y asociar a cada tubo del conjunto T, el pincel del conjunto P que tenga su mismo color, esta asociación la representaremos con una flecha del tubo al pincel correspondiente. Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay ningún pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ninguna flecha. Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo color, así en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura verde. También puede ser que tengamos más de un tubo de un mismo color y un solo pincel con esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen las dos flechas hasta el único pincel con pintura azul, llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la figura. En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningún tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha. En resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto T de tubos de pintura, y otro conjunto P de pinceles, existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene el mismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relación tan sencilla o tan compleja como se quiera. En una correspondencia matemática los conjuntos no tienen que ser necesariamente numéricos, ni la relación entre sus elementos operaciones aritméticas, sin que por ello deje de ser matemática. [editar]Definiciones En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos: Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, es este caso X, lo representaremos: in(f), según el ejemplo: En el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C que hemos pintado con esos pinceles, la correspondencia asocia a cada pincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjunto inicial será: , , , Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este caso Y, lo representaremos como fin(f), según el ejemplo: En el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final está formado por: , , , Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del conjunto final, lo representaremos or(f), en el ejemplo será: Los pinceles de los que hay una cara pintada es el conjunto origen, de la correspondencia mismo color: , , Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que están relacionados los elementos del conjunto origen, lo representaremos Im(f), en el ejemplo: Las caras para las que hay un pincel de su color es el conjunto imagen: , , Elementos homólogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están relacionados según la correspondencia f, en el ejemplo los siguientes pares ordenadas son homólogos: Los pares ordenados formados por un pincel y una cara del mismo color son: , , , Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto origen, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x y se representa: si el elemento x está relacionado con el elemento y según la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que: La correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del mismo color es: [editar]Correspondencia definida a partir del producto cartesiano Dados los conjuntos X (Conjunto inicial) e Y (Conjunto final) y definido el producto cartesiano , de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados (x, y), donde e , dado el conjunto F que contiene a los pares homónimos de la correspondencia f, y define esa correspondencia en su totalidad. Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es un subconjunto F del producto cartesiano , que recoge los pares ordenados (x, y), que forman la correspondencia. [editar]ejemplo 1 d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) X×Y 1 2 3 4 en la diagrama anterior, tenemos los conjuntos: el producto es: el conjunto F es el siguiente: se puede apreciar que y que F define la correspondencia en su totalidad. [editar]ejemplo 2 Partiendo de la correspondencia entre los tubos de pintura T, y los pinceles P, asociando a cada tubo el pincel que tiene pintura del mismo color. La correspondencia vendrá definida por los pares ordenados: , , , Vemos que el conjunto inicial es: , , , y el conjunto final: , , , el producto cartesiano de T por P es el conjunto de pares ordenados de cada uno de los tubos de T con cada uno de los pinceles de P, en la cuadrícula podemos ver en la fila inferior cada uno de los tubos del conjunto T, y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del conjunto P, donde se cortan una fila y una columna están el tubo y el pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman parte de la correspondencia. [editar]Correspondencia inversa Dada una correspondencia entre los conjuntos A y B, representada: se define como correspondencia inversa de f, que llamaremos : a la que asocia la imagen de la función f con su origen. Definida una correspondencia F, como un subconjunto del producto cartesiano de , donde los pares ordenados (a, b) son los asociados por la correspondencia, la correspondencia inversa , es el subconjunto del producto cartesiano , formado por los pares ordenados (b, a) obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia F. Así si tenemos un conjunto T de tubos de pintura y otro conjunto P de pinceles y asociamos por una relación f a cada tubo de T el pincel con pintura del mismo color: y esta función está definida por los pares ordenados: , , , La correspondencia inversa será la que partiendo del conjunto de pinceles P asocia a cada pincel el tubo del conjunto T de pintura del mismo color: que estará definida por los pares ordenados: , , , [editar]Tipos de correspondencias [editar]Clasificación según la unicidad Partiendo de dos conjuntos, uno inicial X, y otro final Y, y todas las posibles correspondencias que se pueden hacer entre estos dos conjuntos, por su interés podemos diferenciar las correspondencias unívocas y biunívocas. Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen. Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen" Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen. Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen y a cada elemento del conjunto final con origen sólo le llegue una flecha" No es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de X tengan una imagen, ni que todos los elementos de Y tengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser biunívoca. Si representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos X e Y, si el conjunto B es el de las correspondencias unívocas, y al A el de las biunívocas, en un Diagrama de Venn, se ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias unívocas. [editar]Correspondencia no unívoca Es la correspondencia en la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o más imágenes. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a B: B’ Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en ese centro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no será unívoca cuando al menos un alumno estudia dos o más asignaturas. En el diagrama de la figura el elemento 3 tiene dos imágenes b y c, esto hace que la correspondencia no sea unívoca, independientemente de la relación que tengan el resto de los elementos. Esta doble imagen para un único origen da lugar a que podamos decir: Siendo las dos expresiones ciertas. [editar]Correspondencia unívoca Es una correspondencia donde cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a B. [editar]Correspondencia unívoca, no biunívoca Es la que a cada origen le corresponde una única imagen, pero no todas las imágenes tienen un único origen. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que pertenecen a B pero no a A: B-A. Si el conjunto inicial es el de las personas de una población, y el conjunto final el de los domicilios de esa población, la correspondencia de personas con domicilios, será unívoca pero no biunívoca cuando, cada persona viva en un único domicilio y en algún domicilio vivan varias personas. La correspondencia representada en este diagrama es unívoca, pero no es biunívoca porque el elemento d, tiene dos orígenes: 1 y 2. Así tenemos que: esto hace que no sea una correspondencia biunívoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo. [editar]Correspondencia biunívoca Artículo principal: Correspondencia biunívoca. Es una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con solo un elemento del conjunto origen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a A. Ejemplos En el diagrama de la figura se ve que: siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen, puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la definición de biunicidad. Si consideramos como conjunto origen el de personas, y por conjunto imagen el de automóviles, esta correspondencia será biunívoca cuando las personas que tienen automóvil tienen un solo automóvil, y cada automóvil tenga un solo propietario. Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cada número natural con su cuadrado. Otro ejemplo podría ser una correspondencia biunívoca entre cada estudiante con su número de legajo. Una relación biunívoca muy utilizada e independiente de otros valores es la existente entre el valor de la propiedad termométrica utilizada y el valor numérico de la temperatura asignada. Esto es que cada valor de temperatura se corresponde únicamente con un valor de la escala del termometro y cada valor de la escala del termometro se corresponde únicamente con un valor de temperatura. cuando al menos un elemento de X está relacionado con al menos un elemento de Y.