Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Función Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el con junto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio. Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra,digamos o o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X Conjunto Y Desarrollo − 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 − 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.