
miércoles, 1 de mayo de 2013
ASINTOTA VERTICALES




ASINTOTAS HORIZONTALES
Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.
Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.
La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.
Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:
1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.
2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.
La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.
Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos.
Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal.
En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba.
En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.
OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de aba
La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos.
Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.
Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo.
Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0
DOMINIO DE DEFINICION DE UNA FUNCION RACIONAL
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA



DIVISION SINTETICA
La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.
Dividamos entre
Podemos apreciar que el cociente es un polinomio en x de un grado menor que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica:
1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo.
3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo.
Ejemplo:
Dividamos entre
Solución:
Dividendo
Divisor
1
-2
-3
+5
Resultado residuo: 5
Ejemplo:
Efectuar por división sintética
Solución:
Dividendo
Divisor
Resultado residuo: 68
Ejemplo:
Efectuar por división sintética
Solución:
Dividendo
Divisor
Resultado residuo: 25
Ejemplo:
Efectuar por división sintética entre
Solución:
Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos y , al escribir los coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos términos.
Dividendo
Divisor
Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es y el residuo es -727
TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESIDUO
Teoremas del residuo y del factor.
Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que:
.
Al polinomio se le denomina cociente, en el divisor y R es el resi Teorema del residuo. Si es el residuo de dividir el polinomio entre , entonces .
Demostración.
Como por el algoritmo de la división, se tiene que si , .
O sea, .
Ejemplo 7.
Hállese el residuo de dividir el polinomio entre .
Solución.
se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.
Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de .
Demostración.
Si es un cero de , .
Pero por el algoritmo de la división .
Como , .
Por tanto, y .
Ejemplo 8.
Use el teorema del factor para probar que es un factor de .
Solución.
, así .
.
Luego –1 es un cero de .
Así es un factor de .
Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.
Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos.
Ejemplo 9.
Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase como un producto de factores lineales.
Solución.
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,
.
.
.
.
Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de que son , .
Así, escrito como el producto de factores lineales es,
.
Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.
Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real.
Ejemplo 10.
Si es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:
a. tiene al menos un cero real.
b. tiene tres ceros.
c. puede tener dos ceros reales y uno complejo.
Solución.
La afirmación c. es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si tienen dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real.
Regla de los signos de descartes. Dado un polinomio con coeficientes reales, entonces:
El número de ceros reales positivos de nunca esa mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par .
El número de ceros reales negativos de nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par.
Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tiene signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran.
Ejemplo 11.
En , hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas.
.
.
En hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.
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