IMAGEN

En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si es una función, entonces la imagen del elemento es el elemento . [editar]Diferencia con el contradominio El conjunto imagen siempre es un subconjunto del contradominio. Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen. Si es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función se conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma. Por ejemplo, la función tiene por contradominio el conjunto de todos los números reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos. En general, el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos coinciden, se dice que la función es suprayectiva.

CONTRADOMINIO

En matemáticas, el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota o o . Sea la imagen de una función , entonces . [editar]Ejemplo Para una función definida para , o el equivalente , el codominio de es , pero siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo [0,∞).

DOMINIO

Dominio Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función: Lo que puede entrar en una función se llama el dominio Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango. Parte de la función Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio. De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente. Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...} Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...} Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes. También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4) Así que el dominio es una parte muy importante de la función. Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio? Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone: Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que funcione". O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros. etc. ¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado! Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)

Relaciones

Una relación entre conjunto A y B, es cualquier conjunto de parejas ordenadas A x B. Se llama dominio de la relación al conjunto de las primeras componentes de las parejas, y rango, o imagen de la relación al conjunto de las segundas componentes. Notación descriptiva. No siempre es posible enumerar elementos de una relación. Por ejemplo; el conjunto de parejas ordenadas de R x R {( )......} en tales casos lo que se hace es describir la relación enunciada, una condición que han de satisfacer sus elementos. Por ejemplo, podemos describir la relación “ser menor que” ante los números R de la forma siguiente. M {(x, y) | x " R, y " R, x < y} Ejemplo: Sea A {1, 2, 3} El producto A x A con la regla “ser igual” Gráfica de una relación. La gráfica de una relación entre números reales consiste de todos los puntos del plano cuyas coordenadas están en la relación. Si la relación está definida por una ecuación, la gráfica de la ecuación (lugar geométrico) es lo mismo que la gráfica de la relación y consiste de los puntos cuyas coordenadas son el conjunto solución de la educación.

Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Función Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el con junto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio. Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra,digamos o o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X Conjunto Y Desarrollo − 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 − 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.