CRITERIOS DE EXISTENCIAS DE LAS ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

ASINTOTA VERTICALES

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca. No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal. Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones: 1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar. 2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito. NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

ASINTOTAS HORIZONTALES

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito). Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales. Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical. La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito. Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales: 1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador. 2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas. La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0. Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos. Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal. En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba. En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo. OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de aba La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos. Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba. Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo. Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

DOMINIO DE DEFINICION DE UNA FUNCION RACIONAL

Para el cálculo del dominio de las funciones con la x en el denominador o racionales, hay que tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser nulo. Luego los valores de x que hagan cero el denominador de la función no pueden pertenecer al dominio de la misma.

FUNCION RACIONAL

GRAFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES

TEOREMA DE FACTORIZACION LINEAL

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero. Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra. Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado (con coeficientes reales) puede tener soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado tiene soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2): Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a: con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que: El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

DIVISION SINTETICA

La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a. Dividamos entre Podemos apreciar que el cociente es un polinomio en x de un grado menor que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5. Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica: 1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo. 2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo. 3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo. 4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo. Ejemplo: Dividamos entre Solución: Dividendo Divisor 1 -2 -3 +5 Resultado residuo: 5 Ejemplo: Efectuar por división sintética Solución: Dividendo Divisor Resultado residuo: 68 Ejemplo: Efectuar por división sintética Solución: Dividendo Divisor Resultado residuo: 25 Ejemplo: Efectuar por división sintética entre Solución: Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos y , al escribir los coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos términos. Dividendo Divisor Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es y el residuo es -727

TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESIDUO

Teoremas del residuo y del factor. Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que: . Al polinomio se le denomina cociente, en el divisor y R es el resi Teorema del residuo. Si es el residuo de dividir el polinomio entre , entonces . Demostración. Como por el algoritmo de la división, se tiene que si , . O sea, . Ejemplo 7. Hállese el residuo de dividir el polinomio entre . Solución. se puede escribir como , por tanto . . . O sea que el residuo es 2. Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de . Demostración. Si es un cero de , . Pero por el algoritmo de la división . Como , . Por tanto, y . Ejemplo 8. Use el teorema del factor para probar que es un factor de . Solución. , así . . Luego –1 es un cero de . Así es un factor de . Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales. Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos. Ejemplo 9. Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase como un producto de factores lineales. Solución. Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que, . . . . Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de que son , . Así, escrito como el producto de factores lineales es, . Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados. Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real. Ejemplo 10. Si es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa: a. tiene al menos un cero real. b. tiene tres ceros. c. puede tener dos ceros reales y uno complejo. Solución. La afirmación c. es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si tienen dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real. Regla de los signos de descartes. Dado un polinomio con coeficientes reales, entonces: El número de ceros reales positivos de nunca esa mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par . El número de ceros reales negativos de nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par. Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tiene signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran. Ejemplo 11. En , hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas. . . En hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.